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いきるちから

気が向いたときに適当なことを書きます

"Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis"を読んだ

あさぜみ*1で発表しておいて今更感あるけど、Internal Set Theoryを勉強した。"Real Analysis through Modern Infinitesimals"*2とかも読んだけど原論文が一番面白かった。

Internal Set Theoryとは

超準解析を公理化したもの。ZFCに1つの述語(st(x))と3つの公理(transfer, idealization, standarlization)を追加してISTにすると、今まで超フィルターとかでがんばって超準モデルを構成してたのがうまく扱えるようになる。しかもZFCの保存的拡大*3になってて、stを含む論理式は含まない「等価」な論理式に変形できる。

超べきモデルを作ったりしなくていいところと、「既存の数学」との対応関係が明確なとこが個人的に面白かった。後は久しぶりに公理論的集合論使えて楽しかった。

各章の内容

1. Internal set theory

3つの公理を導入して、いくつかこれから使う定理を準備しつつ使い方を覚えるって感じの章。追加された述語st(x)は「xはstandardである」と読む。普通の超準解析で定数記号として入れてたやるがstandardになるというイメージで大体あってる。stを含まない論理式はinternalと言う。

追加される公理を見てみよう。
 \forall^{\mathrm{st}} \exists^{\mathrm{st}} はそれぞれ  \forall x (st(x)) \Rightarrow \exists (st(x))\landの略記とする。また \forall^{\mathrm{fin}} \forall x (xは有限) \Rightarrowの略とする。 \exists^{\mathrm{fin}}は上と同様にする。


こうすると公理は次のように書ける
 (\mathrm{T}) \;\; \forall^{\mathrm{st}} \vec{t} (\forall^{\mathrm{st}}x A(x, \vec{t}) \Rightarrow \forall x A(x, \vec{t}))
 (\mathrm{I}) \;\; \forall^{\mathrm{st \; fin}} \exists x \forall y \in z B(x,y) \Leftrightarrow \exists x \forall^{\mathrm{st}} y B(x,y)
 (\mathrm{S}) \;\; \forall^{\mathrm{st}} x \exists^{\mathrm{st}} y \forall^{\mathrm{st}} z (z \in y \Leftrightarrow z \in x \land C(z))

それぞれ、principle of transfer, principle of idealization, principle of standarizationという。頭文字を並び替えるとISTになる。芸が細かい。(T)においてはAはinternalで、明示した以外の変数を含んではいけない。(I)でもBはinternal。

(T)は普通の超準解析でもtransfer principleだし、(I)も共起性定理っぽいのでこの辺は分かるけど、(S)はぱっと見だとよくわからない。Saturation propertyの変わりに入ってるので関連がないか考えてみる。Saturation propertyは関数の延長とかをするのに使うわけで、都合のいい集合が存在するというのが使い道の1つだった。そう思って(S)をみると都合のいい(standardな)集合の存在を言ってるしそれっぽい。

いくつかこの章の例を見てくとちゃんとこれだけで話が回ってるのがわかる。すごい。

ところで最後のほうで「infinitesimally close」という誤用についてキレてる。「お前恋人と見つめあいながら『僕と君は無限小に近いね(infinitesimally close)』っていうのかよ???」と書いてある。日本語だと違いが見えにくいけど、確かに「無限に近い(infinitely close)」って言うのが正しい気がする。infinitesimallyがcloseにかかると意味が逆になりそうだし。

2. A lexicon of nonstandard analysis

この章ではstを含む論理式を、standardな元に関しては真偽が一致するよう変形するアルゴリズムを与える。これのお陰で超準的に何かを定義して証明したら、「既存の数学」でのその対応物が何かが分かってうれしい。これで「既存の数学」との対応を気にせず超準的な概念をぶん回せる。ただ、変形した結果わけ分からんやつが出てきうるのでその辺は注意がいる。

超準解析の強さは、internalに書くと面倒になっちゃう性質がst使うと楽に書けることだよね、というのがNelsonの意見。よくわかる。

3. External sets

ISTにおいてはstを含む論理式で集合を分出できない。けど超準解析だと無限小な元の集合とかそういうものを扱って、これができないと困る。そこで、stを含むようなexternal setsは真クラスとして扱っちゃいましょうという章。ISTはZFCの保存的拡大だからZFCの無矛盾性を仮定すればモデルが取れてexternal setsも「集合」としてあつかえる。この辺公理的集合論の話を思い出せて楽しかった。

4. A grab-bag of nonstandard analysis

超準的な証明を色々な例でやって見ましょうという章。ISTの扱い方に慣れられる。例自体は他で知ってる奴が多かった。

5. Infinitesimal calculus

ISTで初等的な解析学をやるやつ。これも他の超準解析で扱ってるものが多いが、ISTでどうやったらいいかが分かった。

6. Near-standard points

前半はいつもの超準解析でチコノフの定理を殺すやつ。後半は関数解析量子論。ぶっちゃけこの辺はよく分からんかった。せっかく超準的になにか対象を定義しても、それが自明な対象と「無限に似ている」んじゃ意味ないよね、という話がでてて面白かった。いやまあ言われてみれば当たり前なんだけど。

7.Finite probability spaces

Nelsonの超準確率論。これはRadically Elementary Probability Theory読んだしということで飛ばした。

8. Appendix: The conservation theorem

ZFCの保存的拡大になっていることを示す章。一言で言うとultra filter constructionサイコーって感じ。Losの定理からちゃんと丁寧に書いてあってやさしい。

大雑把には、超べきを作るとtransferっぽい性質がなりたつ。idealizationはうまいフィルターで割れば基本的にはこれでいけるんだけど、明示されてないパラメタの分をどうにかしてやらなくちゃいけない。そこで超べきをとるのを繰り返して、最後に全部合併する。(確かめてないけど多分余極限だと思う。)これをultralimitという。これでidealizationっぽいのが成り立つ。standarizationっぽいのもいける。

internalな論理式AがISTで証明されているとする。反映原理から適当な V_\alphaに相対化して大丈夫なので、こいつのultralimitをとる。そうするとISTで追加された公理「っぽい何か」が成立していたから、ultralimit上で元の証明を再現してやればA「もどき」が証明できる。A「もどき」は定義よりAの相対化と同値だったのでこれで証明が完了する。

参考文献(というより読んだもの)

Nelson, Edward. "Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis." Bulletin of the American Mathematical Society 83.6 (1977): 1165-1198.

Vakil, Nader. Real analysis through modern infinitesimals. Vol. 140. Cambridge University Press, 2011.

Edward Nelson. Radically elementary probability theory. No. 117. Princeton University Press, 1987.

*1:毎週誰かが数理工学の話題について発表するセミナー

*2:超フィルターとかを飛ばせるので、さっさと超準解析したいビギナーが読むにはいい本だと思う。

*3:stを含まない論理式がISTで証明できるならZFCでも証明可能