2016-05-01

あさぜみ*1で発表しておいて今更感あるけど、Internal Set Theoryを勉強した。"Real Analysis through Modern Infinitesimals"*2とかも読んだけど原論文が一番面白かった。

Internal Set Theoryとは

超準解析を公理化したもの。ZFCに1つの述語(st(x))と3つの公理(transfer, idealization, standarlization)を追加してISTにすると、今まで超フィルターとかでがんばって超準モデルを構成してたのがうまく扱えるようになる。しかもZFCの保存的拡大*3になってて、stを含む論理式は含まない「等価」な論理式に変形できる。

超べきモデルを作ったりしなくていいところと、「既存の数学」との対応関係が明確なとこが個人的に面白かった。後は久しぶりに公理論的集合論使えて楽しかった。

各章の内容

1. Internal set theory

3つの公理を導入して、いくつかこれから使う定理を準備しつつ使い方を覚えるって感じの章。追加された述語st(x)は「xはstandardである」と読む。普通の超準解析で定数記号として入れてたやるがstandardになるというイメージで大体あってる。stを含まない論理式はinternalと言う。

追加される公理を見てみよう。
$\forall^{\mathrm{st}}$ 、 $\exists^{\mathrm{st}}$ はそれぞれ $\forall x (st(x)) \Rightarrow$ 、 $\exists (st(x))\land$ の略記とする。また $\forall^{\mathrm{fin}}$ は $\forall x (xは有限) \Rightarrow$ の略とする。 $\exists^{\mathrm{fin}}$ は上と同様にする。