いきるちから

気が向いたときに適当なことを書きます

直積空間での境界作用素

数学

A Concise Course in Algebraic Topologyのゼミ発表の準備をしてたら沼にはまった。13.4節のお話。

やりたいこと

C_*(X) \times C_*(Y) \equiv C_*(X \times Y)を示す。

基本戦略

\kappa : C_*(X) \times C_*(Y) \rightarrow C_*(X \times Y)
\kappa(x,y) = (-1)^{pq}[x \otimes y ]
とすると \kappaは境界作用素と可換になる。p,qはx,yの次元。これより上の同型が従う。

やったこと

可換性を示すとき直積空間上での境界作用素を具体的に計算しなくちゃいけない。つらい。死んだ。初見だと2つの図式をどう使うのかすら分からなかった。

クソつらいけどtopological boundary mapの方の定義に従って座標入れて計算するだけ。答えがどうなって欲しいかは勘で分かるのでまだマシっぽい。もしかしたら座標入れないうまい方法があるかも知れない。写像度の計算の途中でホモトピー論のFreudenthal suspension theoremとか出て来て、この先ホモロジーとホモトピーの話の絡みがでてきそうだなあと感じてわくわくした。

おわりに

とてもつらかった。ホモロジーの定義ってめっちゃ綺麗だったわり計算しようと思うと牙を向くなあ...topological boundary mapは初め訳わからんと思ってたがこの計算する中で分かり合えた気がする。